浅谈二次函数在高中阶段的应用

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
一、进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax²+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为ƒ(x)= ax²+ bx+c(a≠0)这里ax²+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知ƒ(x)= 2x²+x+2，求ƒ(x+1)
这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ：设ƒ(x+1)=x²－4x+1,求ƒ(x)
这个问题理解为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素x+1的象是x²－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
ƒ(x+1)=x²－4x+1=(x+1)²－6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x²－6x+6
(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1  ∴(t)=(t-1)²－4(t-1)+1=t²－6t+6从而ƒ(x)= x²－6x+6

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