人教版数学八年级《相似三角形教案》教学设计
浏览次数: 850次| 发布日期：06-12 12:17:51 | 八年级数学教案
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人教版数学八年级《相似三角形教案》教学设计,
5 相似三角形
[目标·概览]
1．通过一些具体的情境和应用，深化对相似三角形的理解和认识．
2．进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般之间的辩证它系，提高学习数学的兴趣和自信心．
[思考·交流]
如图4—5—1所示，把一张正方形纸片沿其对角线折叠，得到一个等腰直角三角形，再次对折，又将得到一个等腰直角三角形．我们能发现，这两次所得到的等腰直角三角形的形状是相同的，它们是相似三角形．也就是说：相似三角形具有相同的形状，只是大小不—定相等．
如果两个三角形相似，那么它们的边、角之间各自应具备什么关系呢?
[学法·指津]
学习本节时，要注意应用类比的思想．相似三角形是相似多边形的一种特殊情况，所以相似三角形也必须从对应角相等，对应边成比例这两个条件入手，二者缺一不可．全等三角形可以看作是相似三角形相似比为1的特殊情形，故学习相似三角形判定和性质时，要与全等三角形相比较，找到它们之间的内在联系和区别,并把全等三角形的有关知识的学习方法恰当地迁移到相似三角形的学习中．
[知识·导学]
知识点一:相似三角形的概念
三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.
若△ABC与△DEF相似，则记作△ABC∽△DEF．
注意：(1)当且仅当一个三角形的三个角与另一个三角形的’三个角对应相等，且三组对应边的比都相等时，这两个三角形才叫做相似三角形．
(2)与相似多边形一样，要把表示对应角顶点的字母写在对应顶点的位置上.
(3)相似三角形的本质特征是：两个三角形具有相同的形状，但大小不一定相等．
思考交流：两个全等三角形一定相似吗？为什么？
知识点二：相似比
相似三角形的对应边的比k，叫做相似比.
比如：△ABC∽△A’B’C’，如果对应边的比为，那么△ABC与△ABC的相似比为.
注意：相似比具有顺序性.在上例中△ABC与△A’B’C’的相似比，那么△A’B’C’与△ABC的相似比.
思考交流：△ABC与△A’B’C’的相似比k1和△A’B’C’与△ABC的相似比k2，不一定相等，那么在什么情况下，才有k1=k2，此时相似比为多少？
知识点三：相似三角形的性质是：
(1)相似三角形的对应角相等；
(2)相似三角形的对应边成比例．
可表述为：如图4—5—2所示，若△ABC∽△A’B’C’，则(1)∠A=∠A’， ∠B=∠B’，
∠C=∠C’；（2），或AB：A’B’=BC：B’C’=AC：A’C’.
思维升华：如图4—5—3，已知(1)．请分别根△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；（2）△OAB∽△OAB，其中AB∥AB；（3）△ABC∽△ADE，其中∠ADE=∠B. 请分别根据已知条件，写出各组相似三角形的对应边的比例式.
在回答本问题时，应注意找准对应边，可遵循对应角所对的边为对应边去找，因此，
(1)中的对应边的比例式为：；\
(2)中的比例式为：；
(3)中的比例式为：.
［技巧·解悟］
考查相似三角形的性质
［例1］ 如图4-5-4所示，已知△ADE∽△ABC，∠ADE=50°，∠C=60°，AD∶DB=5∶3，DE=6 cm，求∠A的度数及BC的长.
解析 根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例来求解.
答案 因为△ADE∽△ABC，
所以 ∠ADE=∠B=50°，
所以
所以 .
又AD∶BD=5∶3，所以AD∶AB=5∶8.
所以，所以 （cm）.
［拓展·探究］
综 合 题
［例2］ 如图4-5-5所示 ，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，△AEF∽△ACD，△ADE∽△ABC，AF=4，AB=6. 求AD的长.
解析 本题主要考查相似三角形对应边成比例的性质. 解题时，抓住这个中间比，使与组成一个比例式，同时一定要根据对应角来确定对应边.
答案 因为△AEF∽△ACD，且EF∥CD，
所以∠1=∠2，即∠1与∠2为对应角.
所以.①
因为△ADE∽△ABC，且DE∥BC，
所以∠3=∠B，即∠3与∠B为对应角.
所以. ②
由①与②，得.
所以AD2=AF·AB=4×6=24.
所以AD=.
经验技巧：在解决有关相似三角形的题目时，常常借助于“中间比”进行比例的转换．
［例3］ 图4—5—6是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图．已知光线与地面所成角∠M＝30°，在教室地面的影长MN= m.若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1 cm，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为( ).
A. m B. 3 m
C. 3.6m D. m
解析 由BN∥AM可得∠BNC=∠M＝30°，所以BN=2BC=2, NC＝，所以AC＝3.
答案 B
经验技巧：解决此类问题，要抓住阳光平行，从而得到∠BNC=30°
创 新 题
［例4］ 如图4—5—7所示，四边形ABCD、CDEF、EFGH是三个并列的正方形.
(1)如果设正方形的边长为1，你能求出AG、AF、AC的长吗?
(2)你能发现△ACF与△GCA是相似三角形吗?
解析 (1)可利用勾股定理及正方形的性质求解；(2)可先求出∠AFB+∠AGB＝45°，然后说明∠CAF=∠AGC，又∠ACF＝∠GCA，从而可得三个角对应相等，利用(1)中的结论进一步说明三边对应成比例．
答案 (1)因为四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形，且边长为1，
所以
.
(2)延长DC至N，使CN=CD，连AN、GN，则有
△AFB全等且相似于△NGC全等且相似于△AND.
所以∠AFB=∠NGC=∠AND，NG=AN.
又因为∠ANG=∠AND+∠GNC=∠NGC+∠GNC=90°
所以∠AGN=45°，即∠AFB+∠AGB=45°.
又因为∠AFB+∠CAF=45°
所以∠CAF=∠AGB.
又∠ACG是公共角，由三角形内角和定理可得∠CFA=∠CAG.
而.
所以△ACF∽△GCA.
经验技巧：本题通过添加辅助线，转化为证明△AFB全等且相似于NGC全等且相似于△AND，得到角之间的关系，再利用等量代换求得∠AGB+∠AFB=45°，这正是求解的关键步骤.
［习题·解题］
随堂练习(课本第116页)
1. x=32, y=，m=80, n=55.
点拨：(1)因为两三角形相似，所以，所以x=32.
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www.350xue.com (2)由两三角形相似，得m=80, n=55, ，所以.
2．(1)因为Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，且相似比为3∶1，即.
又AB=5，所以A′B′=cm.
(2) 因为Rt△A′B′C′为等腰直角三角形，所以斜边上的高为cm..
习题4.6 (课本第117页)
1.因为Rt△ABC∽Rt△DEF，所以.
又因为AB=3 cm，BC=4 cm, CA=2 cm，EF=6 cm，
所以4.5 cm ，即DF= cm.
2.最大内角为70°，最小内角为50°.
点拨：两个相似三角形的对应角相等，所以最大内角的对应角也最大内角.
［自主·评价］
基 础 题
1．若△ABC∽△DEF，AB=3，DE=6，EF=，则BC为( ).
A． B. C. 2 D.
2．如图所示，若△ABC∽△AED，∠AED=∠B，那么这两个三角形的相似比是( ).
A． B. C. D.
3．在甲、乙两张地图中各有一个相同的三角形，已知甲、乙两张地图的比例尺分别为l：100和1：300，则甲地图中的三角形与乙地图中的三角形的实际周长之比为( )
A．1：3 B. 3：l C. 9：l D. 1∶9
4．如图所示，如果△ABC∽△ADE，∠1=∠B，则下列比例式错误的是( ).
A． B.
C． D.
5．已知在△ABC中，∠A=45°，∠B=35°，那么与△ABC相似的三角形三个内角的度数分别是( ).
A．35°，45°，45° B. 45°，105°，30°
C．45°，35°，110° D. 45°，35°，100°
拓 展 踵
6．已知在等边△ABC中，点D、C分别在AB、AC上，且DE∥BC. 如果BC＝8 cm，AD：AB＝l：4，那么△ADE的周长为多少厘米?
7．如图所示，在△ABC中，P为AB上的一点，四边形PECF为平行四边形.若△ABC∽△APE，△BPF∽△ABC，试证明：.
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5 相似三角形
[目标·概览]
1．通过一些具体的情境和应用，深化对相似三角形的理解和认识．
2．进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般之间的辩证它系，提高学习数学的兴趣和自信心．
[思考·交流]
如图4—5—1所示，把一张正方形纸片沿其对角线折叠，得到一个等腰直角三角形，再次对折，又将得到一个等腰直角三角形．我们能发现，这两次所得到的等腰直角三角形的形状是相同的，它们是相似三角形．也就是说：相似三角形具有相同的形状，只是大小不—定相等．
如果两个三角形相似，那么它们的边、角之间各自应具备什么关系呢?
[学法·指津]
学习本节时，要注意应用类比的思想．相似三角形是相似多边形的一种特殊情况，所以相似三角形也必须从对应角相等，对应边成比例这两个条件入手，二者缺一不可．全等三角形可以看作是相似三角形相似比为1的特殊情形，故学习相似三角形判定和性质时，要与全等三角形相比较，找到它们之间的内在联系和区别,并把全等三角形的有关知识的学习方法恰当地迁移到相似三角形的学习中．
[知识·导学]
知识点一:相似三角形的概念
三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.
若△ABC与△DEF相似，则记作△ABC∽△DEF．
注意：(1)当且仅当一个三角形的三个角与另一个三角形的’三个角对应相等，且三组对应边的比都相等时，这两个三角形才叫做相似三角形．
(2)与相似多边形一样，要把表示对应角顶点的字母写在对应顶点的位置上.
(3)相似三角形的本质特征是：两个三角形具有相同的形状，但大小不一定相等．
思考交流：两个全等三角形一定相似吗？为什么？
知识点二：相似比
相似三角形的对应边的比k，叫做相似比.
比如：△ABC∽△A’B’C’，如果对应边的比为，那么△ABC与△ABC的相似比为.
注意：相似比具有顺序性.在上例中△ABC与△A’B’C’的相似比，那么△A’B’C’与△ABC的相似比.
思考交流：△ABC与△A’B’C’的相似比k1和△A’B’C’与△ABC的相似比k2，不一定相等，那么在什么情况下，才有k1=k2，此时相似比为多少？
知识点三：相似三角形的性质是：
(1)相似三角形的对应角相等；
(2)相似三角形的对应边成比例．
可表述为：如图4—5—2所示，若△ABC∽△A’B’C’，则(1)∠A=∠A’， ∠B=∠B’，
∠C=∠C’；（2），或AB：A’B’=BC：B’C’=AC：A’C’.
思维升华：如图4—5—3，已知(1)．请分别根△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；（2）△OAB∽△OAB，其中AB∥AB；（3）△ABC∽△ADE，其中∠ADE=∠B. 请分别根据已知条件，写出各组相似三角形的对应边的比例式.
在回答本问题时，应注意找准对应边，可遵循对应角所对的边为对应边去找，因此，
(1)中的对应边的比例式为：；\
(2)中的比例式为：；
(3)中的比例式为：.
［技巧·解悟］
考查相似三角形的性质
［例1］ 如图4-5-4所示，已知△ADE∽△ABC，∠ADE=50°，∠C=60°，AD∶DB=5∶3，DE=6 cm，求∠A的度数及BC的长.
解析 根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例来求解.
答案 因为△ADE∽△ABC，
所以 ∠ADE=∠B=50°，
所以
所以 .
又AD∶BD=5∶3，所以AD∶AB=5∶8.
所以，所以 （cm）.
［拓展·探究］
综 合 题
［例2］ 如图4-5-5所示 ，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，△AEF∽△ACD，△ADE∽△ABC，AF=4，AB=6. 求AD的长.
解析 本题主要考查相似三角形对应边成比例的性质. 解题时，抓住这个中间比，使与组成一个比例式，同时一定要根据对应角来确定对应边.
答案 因为△AEF∽△ACD，且EF∥CD，
所以∠1=∠2，即∠1与∠2为对应角.
所以.①
因为△ADE∽△ABC，且DE∥BC，
所以∠3=∠B，即∠3与∠B为对应角.
所以. ②
由①与②，得.
所以AD2=AF·AB=4×6=24.
所以AD=.
经验技巧：在解决有关相似三角形的题目时，常常借助于“中间比”进行比例的转换．
［例3］ 图4—5—6是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图．已知光线与地面所成角∠M＝30°，在教室地面的影长MN= m.若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1 cm，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为( ).
A. m B. 3 m
C. 3.6m D. m
解析 由BN∥AM可得∠BNC=∠M＝30°，所以BN=2BC=2, NC＝，所以AC＝3.
答案 B
经验技巧：解决此类问题，要抓住阳光平行，从而得到∠BNC=30°
创 新 题
［例4］ 如图4—5—7所示，四边形ABCD、CDEF、EFGH是三个并列的正方形.
(1)如果设正方形的边长为1，你能求出AG、AF、AC的长吗?
(2)你能发现△ACF与△GCA是相似三角形吗?
解析 (1)可利用勾股定理及正方形的性质求解；(2)可先求出∠AFB+∠AGB＝45°，然后说明∠CAF=∠AGC，又∠ACF＝∠GCA，从而可得三个角对应相等，利用(1)中的结论进一步说明三边对应成比例．
答案 (1)因为四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形，且边长为1，
所以
.
(2)延长DC至N，使CN=CD，连AN、GN，则有
△AFB全等且相似于△NGC全等且相似于△AND.
所以∠AFB=∠NGC=∠AND，NG=AN.
又因为∠ANG=∠AND+∠GNC=∠NGC+∠GNC=90°
所以∠AGN=45°，即∠AFB+∠AGB=45°.
又因为∠AFB+∠CAF=45°
所以∠CAF=∠AGB.
又∠ACG是公共角，由三角形内角和定理可得∠CFA=∠CAG.
而.
所以△ACF∽△GCA.
经验技巧：本题通过添加辅助线，转化为证明△AFB全等且相似于NGC全等且相似于△AND，得到角之间的关系，再利用等量代换求得∠AGB+∠AFB=45°，这正是求解的关键步骤.
［习题·解题］
随堂练习(课本第116页)
1. x=32, y=，m=80, n=55.
点拨：(1)因为两三角形相似，所以，所以x=32.
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2．(1)因为Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，且相似比为3∶1，即.
又AB=5，所以A′B′=cm.
(2) 因为Rt△A′B′C′为等腰直角三角形，所以斜边上的高为cm..
习题4.6 (课本第117页)
1.因为Rt△ABC∽Rt△DEF，所以.
又因为AB=3 cm，BC=4 cm, CA=2 cm，EF=6 cm，
所以4.5 cm ，即DF= cm.
2.最大内角为70°，最小内角为50°.
点拨：两个相似三角形的对应角相等，所以最大内角的对应角也最大内角.
［自主·评价］
基 础 题
1．若△ABC∽△DEF，AB=3，DE=6，EF=，则BC为( ).
A． B. C. 2 D.
2．如图所示，若△ABC∽△AED，∠AED=∠B，那么这两个三角形的相似比是( ).
A． B. C. D.
3．在甲、乙两张地图中各有一个相同的三角形，已知甲、乙两张地图的比例尺分别为l：100和1：300，则甲地图中的三角形与乙地图中的三角形的实际周长之比为( )
A．1：3 B. 3：l C. 9：l D. 1∶9
4．如图所示，如果△ABC∽△ADE，∠1=∠B，则下列比例式错误的是( ).
A． B.
C． D.
5．已知在△ABC中，∠A=45°，∠B=35°，那么与△ABC相似的三角形三个内角的度数分别是( ).
A．35°，45°，45° B. 45°，105°，30°
C．45°，35°，110° D. 45°，35°，100°
拓 展 踵
6．已知在等边△ABC中，点D、C分别在AB、AC上，且DE∥BC. 如果BC＝8 cm，AD：AB＝l：4，那么△ADE的周长为多少厘米?
7．如图所示，在△ABC中，P为AB上的一点，四边形PECF为平行四边形.若△ABC∽△APE，△BPF∽△ABC，试证明：.
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