人教版数学九年级《相似三角形》教学设计

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相似三角形
教学目的：
理解相似形的概念；
理解相似比（或相似系数）的概念；
掌握定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
教学重点：
相似三角形的定义和预备定理。
教学难点：
定理的理解和应用。
教学过程：
复习引入：
1、什么叫做全等三角形？
　（能够完全重合的三角形叫做全等三角形。）
2、全等三角形的对应边、对应角之间各有什么关系？
　（对应边相等、对应角相等。）
新课讲解：
1、相似三角形的概念。
　　前面我们说形状相同的图形是相似的图形。那么，什么是形状相同的三角形呢？我们把对应角相等、对应边成比例的三角形叫做形状相同的图形，即相似三角形。如：（实例）
定义中有两个条件，缺一不可。
表示法：∽，读作“相似于”，若△ABC与△A’B’C’相似，就记作：△ABC∽△A’B’C’，且对应顶点一定要写在对应位置，这样可以准确地找出相似三角形的对应角和对应边。
2、相似比的概念。
　　相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或相似系数）。
　　注意两点：
　　⑴两个相似三角形的相似比具有顺序性。
如果△ABC与△A’B’C’的相似比是，那么△A’B’C’与△ABC的相似比是。
⑵只有△ABC≌△A’B’C’时，△ABC与△A’B’C’的相似比和△A’B’C’与△ABC的相似比相同，都等于1。这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形。
3、定理。
　　看右边边两个图形,　　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　D
　　图1中，如果DE∥BC，那么　　　　　　　　　　　　　　　 E　　　　
∠ADE=∠B， ∠AED=∠C，且　　　　 D　　　E　　　　　　　　　　A
。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C
又因为∠A=∠A，　　　　　　　　　　B　　　⑴　　C　　 B　　　 ⑵
∴△ADE∽△ABC。
注意：比例式中的线段都是三角形的边。
　 类似地，图2中，当ED∥BC时，△ADE∽△ABC。于是有下面定理：
　 定理　　平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
例题讲解：
例1　⑴所有的等腰三角形都相似吗？所有的等边三角形呢？为什么？
　　　⑵所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形呢？为什么？
　　答：1、所有的等腰三角形不都相似。如下图中的两个等腰三角形就不相似；






所有的等边三角形都相似。因为每个等边三角形的角都等于60°，且三边都相等，所以任两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例。因此所有的等边三角形都相似.
　　　 2、所有的直角三角形不都相似，如下图中的两个直角三角形就不相似；




所有的等腰直角三角形都相似。因为每个等腰直角三角形中都有一个直角，两个45°的角，且两条直角边相等，斜边等于直角边的倍，所以任两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例。因此所有的等腰直角三角形都相似。
注意这种题型有两层意思：一是对正确的题目要加以证明；二是对不正确的题目要举出反例。
例2　如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在AD和CB的延长线上，请写出图中所有的相似三角形。
解：∵AB∥CD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　E
　　∴△EDH∽△EAG，△CHM∽△AGM，△FBG∽△FCH。　　 D　 H　　　　　　C
∵AD∥BC，
∴△AEM∽△CFM，△AEG∽△BFG，△EDH∽△FCH。　　　　M　　
∴图中相似的三角形有：△AEM∽△CFM，　　　　　A　　　　　　　　　 B
△CHM∽△AGM，△EDH∽△EAG∽△FCH∽△FBG。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　F
注意：对于复杂图形，要会分离成基本图形，找基本图形“A”型和“X”型是关键。
课堂练习：
一、已知：如图，　　　　　　　　　　　　　　　A　　　　 B’　　A’　　　　　A
⑴△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；
⑵△OAB∽△OA’B’，其中A’B’∥AB；　　　 D　　　E　　　　O　　　　 E
⑶△ABC∽△ADE，其中∠ADE=∠B。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D
写出各组相似三角形的对应边的比例式。　　B　　　　 C　 A　　　　 B B　　　　 C
⑴　　　　　　 ⑵　　　　　⑶
二、判断：
　　1、如果两个三角形全等，则它们必相似。
　　2、若两个三角形相似，且相似比为1，则它们必全等。
　　3、如果两个三角形与第三个三角形相似，则这两个三角形必相似。
　　4、相似的两个三角形一定大小不等。
三、选择：
　 1、如图，E是平行四边形ABCD的边AB上一点，CE交BD于F，且CE的延长线交AD于G。则与△AGE相似的三角形有　　（　　）　　　　　　　 G
　　　A、1个　 B、2个　 C、3个　 D、4个　　　　　　　B　　　E　　 A
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　F
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C　　　　　　 D
　 2、如图，DF∥BC∥GE，AF=FG=BG，则△ADF、△AEG、△ACB的相似比是（　 ）
　　　A、1∶1∶1　　　B、1∶2∶3　　　　　　　　　　　　　　　 A
C、3∶2∶1　　　D、1∶3∶2　　　　　　　　　　　　　　F　　　D
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 G　　　　　 E
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B　　　　　　　 C
　 3、△ABC与△DEF相似，∠A=60°，∠B=40°，∠D=80°，则∠E的度数可以是（　 ）
　　　A、60°　　B、40°　　C、80°　　D、40°或60°
　 4、如图，AD∥EF∥BC，GH∥AB，则图中与△BOC相似的三角形有（　　）个
　　　A、1　　　　　B、2　　　　　　　　　　　　　　 D　　　　A
C、3　　　　　D、4　　　　　　　　　　　　　　　　F　　E　 

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　G
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B　　　　H　　　　C
　 5、如图，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC的中位线，△ABC与△AFG的相似比是3∶2，则△ADE与△AFG的相似比是（　 ）
　　　A、3∶4　　　　　B、4∶3　　　　　　　　　　G　　　　　 F 
C、8∶9　　　　　D、9∶8　　　　　　　　　　　　　　A
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　E　　　　D
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B　　　　　　　　 D
课堂小结：
本课课学习了相似三角形的有关概念，包括相似三角形的定义、相似三角形的表示法、相似比等，以及定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。这些内容是研究相似三角形的最基础的内容，要求学生牢牢掌握。
课外作业：
1、用相似三角形的定义证明：全等三角形是相似三角形。
2、5.3　A组　第2题。　

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