人教版数学八年级《据的波动》教学设计

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据的波动
［数据的波动］
　　1．经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程．
　　2．了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差，能够借助计算器求出
相应的数值，并在具体问题情境中加以应用．
　　3．通过实例体会用样本估计总体的思想．
［思考·交流］
　　为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，教练对他们的射击水平进行了测验．
两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下：
　　甲：?，8，6，8，6，5，9，10，7，4；　　乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．
　　经过计算：两人射击环数的平均数相同．到底选谁呢?这可愁环了教练，同学们你能帮
教练一下吗?
　　要解决这类问题，如果只是去比较两组数据的平均数，是无法得出正确答案的．对于上
述问题，我们可选派成绩比较稳定的同学参加射击比赛．
　　可是，如何才能反映一组数据的稳定程度呢?
［学法·指津］
　　求出一组数据的极差、方差或标准差，并根据结果对实际问题作出判断是本节的重点．
同时明白这三个量度是反映一组数据稳定性大小的，掌握这三个量度的计算方法，能利用它
们判断一组数据的波动大小，并通过实际问题认识“波动状况的意义和影响”，进一步体会
样本估计总体的统计思想．
［知识·导学］
　　知识点一：极差
　　极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
　　知识点二：方差与标准差
　　方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数.
　　标准差是指方差的算术平方根．
　　知识点三：方差的计算公式
　　设一组数据x1，x2，…，xn的平均数为,这组数据的方差就是
　　其中，S2是方差.
　　能力拓展：因为，所以.因此当一组数据比较小时，可选用此公式.
　　为了减少参与计算的数据，我们可仿照蔺化平均数很的计算方法，将每个数据都减去一
个与它们的平均数很接近的常数o，这时可得到下面的方差计算公式：
S2=.
　 其中，.
　　知识点四：刻画数据离散程度的量
　　对于一组数据，除需要了解它们的平均水平以外，还常常需要了解它们的波动大小，即
各数据偏离平均数的大小．例如两个班的平均成绩差不多，但一个班成绩比较整齐，一个班
呈两极分化．这种情况用平均数无法反映出来，这就需要引入极差、方差和标准差的概念来
描述它们的波动大小，即刻画数据离散程度的统计量是极差、方差、标准差．
［技巧·解悟］
　　 考查方差的意义
　　 ［例1］　某校从甲、乙两名优秀选手中选出1名选手参加全市中学生田径百米比赛．
该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩见下表：
　　1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　　　选手甲的成绩（s）　　12．1　　12．2　　13　　12．5　　13．1　　12．5　　12．4　　12．2　　　　选手乙的成绩（s）　　12　　12.4　　12.8　　13　　12.2　　12.8　　12．3　　12．5　　　　　　根据测试成绩，请你运用所学过的知识做出判断，派哪一位选手参加比赛更好?为什么?
　　解析　用方差的大小可以衡量甲、乙两名优秀选手百米赛成绩的稳定性方差越小，成绩
越稳定．
答案




=


=
因为，所以乙的成绩稳定，应派乙选手参加比赛
［拓展·探究］
综 合 题
　　［例2］　(20xx年·青海湟中实验区)为从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年六月份
的全县中学生数学竞赛，每个月对他们的学习水平进行一次测验．图5—4—1是两人赛前5次测验成绩的折线统计图．
　　(1)分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数及方差；
　　(2)如果你是他们的辅导教师，应该派哪一名学生参加这次数学竞赛．请结合所学的统
计知识说明理由．
　　解析　方差是描述一组数据波动大小的统计量，解答第(2)题要从图上获取信息．
答案　(1)




　　(2)①甲最近2次的成绩不低于乙：
　　②甲最近3次的成绩直线上升，而乙的成绩有所下降．
　　综上所述，应选甲参加数学竞赛．
　　误区警示：解答本题时，易从方差的大小来解决，所以，要学会从图中把握识别优等的
标准．
应 用 题
［例3］ 下表是某县统计局随机抽样调查甲、乙两个村10户居民20xx年人均纯收入情
况(单位：人、千元)．
甲村被调查户人口数　　3　　5　　4　　3　　4　　5　　4　　4　　3　　3　　　　乙村被调查户人口数　　6　　7　　5　　5　　4　　4　　4　　3　　3　　2　　　　被调查户均纯收入　　0.9　　1.2　　1.3　　1.4　　1.5　　1.6　　1.8　　2.0　　2.2　　2.4　　　　　 由上表计算得甲村被调查户的人均纯收入=1 608元，标准差=416.4，乙村被调查户的平均纯收入＝1 495元，标准差＝411.4. 已知该县20xx年农民人均纯收人为1 490元，20xx年全国农民人均纯收入是2 476元．
　　(1)根据样本估计，这两个村平均每个家庭的人口数；
　　(2)以上数据说明什么问题?请根据学过的统计知识，从不同角度加以解释．
　　解析　本题既要计算统计的特征数，又要结合实际去分析，而且在作出恰当地评估后还
要组织语言从不同角度加以解释．在解题时要抓住“根据学过的统计知识，从不同角度加以
解释”．
答案　(1)设甲、乙两村平均每个家庭的人口数分别为和，则
（3+5+4+3+4+5+4+3+3）=3.8 
（6+7+5+5+4+4+4+3+3+2）=4.3
故甲村平均每个家庭的人口数是3.8，乙村平均每个家庭的人口数是4.3.
　　(2) ①甲村的人均纯收入高于乙村的人均纯收入.
　　②甲村人均收入的波动程度略高于乙村，但两村人均纯收入的波动程度很接近.
　　③甲、乙两村人均纯收入均高于该县农民人均纯收入的平均水平．1村人均纯收入与全
县农民人均纯收入很接近，说明甲村在该县基本属于富裕村，乙村人均纯收入属中等水平．
甲、乙两村及该县农民人均纯收入均远低于全国农民人均纯收入．
　　④从两村的人均纯收入的中位数看，甲村高于乙村，而甲村平均家庭户人口数低于乙村，说明平均家庭户人口数少的村的人均纯收入高于平均家庭户人口数多的村．

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www.350xue.com 　 方法规律：解答此类题目，只要从统计的几个统计量入手分析即可．中位数、众数、平
均数是反映数据集中趋势的特征数；方差、极差和标准差是反映数据波动大小的特征数．
创 新 题
　 ［例4］ 张明、王成两位同学初二学年10次教学单元自我检测的成绩(成绩均为整数，且个位数为0)如图5—4—2所示．
　　利用图中提供的信息，解答下列问题：
　　(1)完成下表：　
姓名　　平均成绩　　中位数　　众数　　方差（s2）　　　　张明　　　　80　　80　　　　　　王成　　　　　　　　260　　　　　　(2)若将90分以上(含90分)的成绩视为优秀，则优秀率高的同学是谁?
　　(3)根据图表信息，请你对这两位同学各提一条不超过20字的学习建议.
　　解析　这是一道统计计算题，要求从图中获取有关信息来计算表中所需补充的统计量．
同时会从图中把握识别优等生的标准，并对两同学提出合理化的学习建议．本题是一道很有
创新意义的题目．
　　答案　(1)根据样本平均数、方差公式、中位数、众数的定义，以及图中提供的各次测
试成绩，可求出张明的平均成绩为80分，方差为60，王成的平均成绩也为80分，中位数是85，众数是90．
　　(2)若将90分以上(含90分)的成绩视为优秀，则这10次单元自我检测成绩中，张明仅3
次成绩达到优秀，而王成有5次成绩达到优秀，因此，优秀率高的是王成．
　　(3)尽管王成的优秀率高，但他的成绩不稳定(方差大)，而张明虽然优秀率比不上王成，但他的考试成绩相对稳定．根据两同学lo次检测的成绩看，发现他们各有所长，也各有所
短，因此，如何切合实际、准确为他们今后提出合理化的学习建议显得尤为重要．下面给出
一条仅供参考：
　　王成的学习要持之以恒，保持稳定；张明的学习还须加一把劲，提高优秀率.
　　经验技巧：解答此题时，应正确识图．

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