趣题巧解 拿破仑的四等分圆

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         拿破仑尽管忙于打仗，但仍经常与数学家们讨论数学，有一次，拿破仑就提出这样一个问题：

　　“给出一个圆，只准用圆规，把圆周四等分”。

　　大家知道，几何作图题是规定只准使用圆规与无刻度的直尺来完成的，这两种工具的功能规定为：

　　（1）已知圆心及半径，用圆规作圆。

　　（2）已知两点，用直尺作过这两点的直线。

　　（3）已知两圆，或已知两直线，或已知一圆及一直线，找出它们的交点。

　　另外还限制只准有限次地使用这两种工具，逐步作出所需图形，如果不准使用直尺，只准使用圆规来完成作图，就是“圆规几何学”的内容，或称为“单用圆规的作图问题”。

　　如果补充规定用圆规“画直线”可以理解为：“若已知直线上两点，则可画出直线上任意多个点。”那么，可以证明：能用圆规与直尺完成的图，都可用圆规单独完成。

　　例1，作一线段等于已知线段的任意整数倍。

　　由于圆规很容易把一个（圆心已知的）已知圆6等分，利用这一点即可完成本作图。

　　如图，已知线段为AB，以B为圆心，BA＝a为半径作圆，以A为一个分点，把圆B六等分，与A相对的分点为C，则AC=2AB。

　　

　　如此下去，就可以把已知线段延长任意整数值。

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　　例2，把已知线段AB分成n等分（n≥2为整数）。

　　以n＝3为例，由上题可知，可以作出点C，使点C在AB延长线上且使AC＝3AB。以C为圆心CA为半径画圆，再以A为圆心，AB为半径画圆，两圆交点之一为D，以D为圆心，AB为半径画圆，交AB于M，

　　

　　证明：△ACD、△ADM均为等腰三角形，且有一个底角公用，于是△ACD∽△ADM，于是AC∶AD=AD∶AM但AC=3AD，于是可得AD=3AM即AM= AB。

　　下面来看看拿破仑的“单用圆规四等分圆”的问题如何解决？

　　作法：取已知圆O上任一点A，以A为一个分点把⊙O六等分，分点依次为A、B、C、D、E、F（如图）。分别以A、D为圆心，AC、BD为半径作圆交于G，以A为圆心，OG为半径作圆，交⊙O于M、N，则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。

　　

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